Euler-Bernoulli Kiriş Teorisi

Euler-Bernoulli kiriş teorisi veya diğer adıyla sadece kiriş teorisi, düzgün izotropik bir kirişin elastikliğinin basitleştirilmiş bir ifadesidir. Bu teori ile kirişlerin yük taşıma ve çökme karakteristikleri hesaplanır. İlk kez 1750'de söylenmiştir fakat 19. yüzyıldaki Eiffel Tower ve Ferris Wheel yapılarına kadar geçen süren sürede büyük ölçekte kabul görmemiştir. Bu başarılı örneklerinden sonra ise, hızlıca önemi artmış ve mühendisliğin yapıtaşlarından biri haline gelmiştir. Aynı zamanda ikinci endüstriyel devrimin de tetikleyicilerinden biridir.

Zamanla düzlem teorisi ve sonlu elemanlar analizi gibi ilave analiz araçları geliştirilmiştir fakat, basit kiriş teorisi bilmin ihtiyaç duyduğu en önemli araç olmaya devam etmiştir. Özellikle sivil ve mekanik mühendislik alanlarında büyük önem taşımıştır.

Tarihçe

İlk kiriş teorisi geliştirme girişimi Galileo Galilei tarafından yapılmış fakat çalışmalarıyla buna karşı çıkan Leonardo da Vinci ciddi gözlemleri ile Galilei'yi alt etmeyi başarmıştır. Daha sonra Galileo, Leonardo da Vinci'nin eksik Hooke Kanunu ve calculus teorisi ile yaptığı yanlış bir kabul vesilesiyle onu mağlup etmiş ve ününü geri kazanmıştır.

Bernoulli kirişi adını önemli buluşlara imza atan Jacob Bernolli'den sonra almıştır. Leonard Euler ve Daniel Bernoulli bu kullanışlı teoriyi ortaya koyan ilk kişilerdir. Bu sıralarda bilim ve endüstri alanları farklı taraflara ayrılmıştı ve akademisyenlerin oluşturduğu matematik çözümlere şüphe ile bakılırken pratikte güvenli ve kullanışlı uygulamalara güveniliyordu. Köprüler ve binalar 19. yüzyılda Euler-Bernoulli kiriş teorsinin Eiffel Kulesi gibi büyük ölçekte uygulamaları görülene kadar bilinen yöntemlerle yapılmaya devam etti.

Kiriş Denklemi

Uzun ince tek boyutlu izotropic malzemeden yapılmış kabul edilen bir kiriş için, elastiklik eğrisi şöyle tanımlanır:

Bu Euler-Bernoulli denklemi olarak bilinir. Kirişi x ekseni doğrultusunda bir boyutlu nesne gibi düşünürsek, u(x) eğrisi kirişteki çökmeyi tanımlar. Yayılı yük yani basıncın bir ifadesi olarak belirtilen w ise, x, u ve diğer değişkenlerin bir fonksiyonudur. E elastiklik modülüdür, I ise eylemsizlik modülüdür.

Burada, u = u(x), w = w(x), ve EI sabittir, yani:

Bu denklem düzgün sabit bir kirişte çökmeyi tanımlar ve mühendislik uygulamalarında kullanılan en temel öğelerden birisidir.

Terimlerin anlamları şunlardır:

- çökmedir.

- kirişin eğimidir.

- kirişin eğilme momentidir.

- kirişteki kayma gerilmesidir.

Bu kiriş kabule göre bir boyutlu nesne olarak tanımlıdır. Kiriş düzgün olmalı ve yayılı yükler düzlem içinde bulunmalı ve burulma olmamalıdır.

Bu sadeye çekme gerilmesi aşağıdaki biçimde tanımlanır:

Buradaki c, u doğrultusundadır ve tarafsız eksenle kuvvetin uygulanma doğrultusundaki mesafesini gösterir. M eğilme momentidir. Kirişin kesitini göz önüne alırsak en üst kısımda çekme, en alt kısımda ise basma gerilmeleri oluşur, bunlar aynı zamanda kirişteki maksimum gerilmelerdir. Kesidin tam ortadan geçen tarafsız eksen bir başka adıyla normal eksende ise, çekme ve basma gerilmesi değeri sıfırdır.

Sınır Şartları

Kiriş denklemi x'e göre türev alınarak hesaplanan en fazla dört sınır şartına sahiptir. Sınır şartları genellikle model destekleri yani onların noktaya etki eden yükleri, momentler ve diğer etkilerden oluşur.

Mesnetli Kiriş

Mesnetli kirişten bir örnek: Tek ucundan hiç hareket etmeyecek şekilde sabit olan kirişin diğer ucu da tamamen serbesttir. Hiç hareket etmeyecek şekilde sabit deyince çökme ve eğimin sıfır, tamamen serbest deyince de kayma kuvveti ve eğilme momentinin sıfır olduğu anlaşılır. EI'nın sabit olduğu durumda, x'in en sol koordinatı sıfır olarak alınır ve en sağ tarafı da L olarak düşünüldüğünde(L kirişin boyu olur) sınır şartları belirlenmiş olur:

En bilinen sınır şartları aşağıdakileri içerir:

- sabit bir destek olduğunu gösterir.

- pin bağlantısı olduğunu gösterir. (çökme ve moment sıfırdır).

- bağlantı ve dolayısıyla yük olmadığını gösterir.

- uygulama noktasında Fbüyüklüğünde bir kuvvet olduğunu gösterir.

Yükleme Durumu

Uygulama yükü sınır şartları altında veya w'nin fonksiyonu olarak bulunabilir. Yayılı yükleme kolaylık açısından sıklıkla tercih edilir. Sınır şartları modeldeki yüklerin belirlenmesinde ve özellikle titreşim analizlerinde kullanılır.

Nokta yükler modellenirken delta fonksiyonu yardımcı olarak kullanılır. Örneğin sabit mesnetli L uzunluğundaki bir kirişi düşünelim ve bunun serbest ucunun üst noktasına F yükü etki etsin. Sınır şartlarını göz önüne alarak şu şekilde ifade edilebilir:

Fonksiyon olarak,

Kayma gerilmesinin sınır şartları(3. Türev) kaldırıldı, aksi halde burada bir çelişki olurdu. Bunlar aynı sınır değeri problemleridir ve her ikisi de aynı sonuca çıkar:

Birkaç noktasal yükün farklı bölgelerde yüklendiği uygulamalarda u(x) önemli bir fonsiyona sahiptir. Bu fonksiyonun kullanımı durumu çok basite indirger, aksi taktirde kiriş her biri 4 farklı sınır şartına sahip olan bölümlere ayrılmak zorunda olurdu.

Akıllı formülasyon ile birçok farklı yük ve bu yüklerin oluşturduğu ilginç problemler rahatlıkla çözümlenebiliyor. Bunun örneği olarak, kirişteki titreşimler yükün bir fonksiyonu olarak kullanılarak hesaplanabilir:

Burada μ kirişin doğrusal yoğunluğudur ve kesinlikle bir sabit değildir. Bu zamana bağlı yük değişikliği denklemi kısmi diferansiyel bir eşitlik haline getirir. Bir başka ilginç örnek ise, kirişteki dönme hareketinin sabit açısal hız ω ile tanımlanmasıdır:

Timoshenko Kiriş Teorisi

Bu teori kirişteki kayma ve dönmenin oluşturduğu eylemsizlik momentini faktörlerinin Euler-Bernoulli teorisine ilave edilmişidir yani bir bakıma daha geliştirilmişidir. Kirişteki kayma gerilmeleri eğilme esnasında nesnenin iç yapısındaki deformasyonlar sebebiyle titreşimi sonucunda ortaya çıkar. Bu enine titreşimler, kirişe uygulanan dış kuvvetlere yani bunun oluşturduğu torka ve kirişin malzeme özelliklerine bağlıdır. Kirişte kayma etkilerinin göz önüne alınması için efektif bir kayma alanına ihtiyaç vardır. Timoshenko'nun kayma faktörü (k>1) bu alanı kA şeklinde ifade eder.

Timoshenko teorisinde hesaplamalar yapılırken kayma ve eylemsizlik momenti de göz önüne alındığından sonuç Euler-Bernoulli teorisine göre her zaman daha büyük çıkar. Timoshenko teorisi gerçeğe daha yakın sonuçlar veren bir teoridir. Özellikle büyük kesitli çok daha isabetli sonuçlar verdiğinden bu teori, kalın kiriş teorisi olarak bilinir. Euler-Bernoulli teorisi ise, tam tersi yönde yani ince kiriş teorisi olarak bilinmektedir. Bu iki teoriyle çözülen kiriş problemlerinde kiriş uzunluğu(L)'nin kesit yüksekliği(h)'a oranı büyüdükçe sonuçlar birbirine yaklaşır. Yani kesin olarak diyebiliriz ki, L/h oranı küçük olan problemlerde Timoshenko çok daha doğru sonuçlar vermektedir.

Timoshenko teorisinde ise,

şeklinde hesaplanır.

K:Timoshenko kayma katsayısı (〖Dikdörtgen kesit için: π〗^2/12≅0, 822)

E:Elastiklik modülü

G:Kayma elastiklik modülü

Sonuç

Timoshenko ve Euler-Bernoulli teorileri genel olarak kirişlerdeki sehim ve gerilmelerin hesaplandığı denklemlerden oluşur. İki teori de aynı amaca hizmet ederler. Temelde her iki teori de aynı amacı hizmet ediyor olsa da aralarında belli başlı farklılıklar bulunmaktadır ve bu farklılıkları şöyle izah edebiliriz.

Bu teorileri tek taraftan mesnetli basit bir kiriş düzeneğinde düşünürsek, kirişin serbest ucundan uygulanan tekil bir yük için Euler-Bernoulli teorisinde sadece bu kuvvetin oluşturduğu momentten kaynaklanan eğilme hesap edilir. Timoshenko teorisinde ise, bu kuvvetin oluşturduğu momentin yanı sıra kirişte malzemede kaynaklanan deformasyonlar ve dikey kuvvetler sebebiyle oluşan kayma gerilmeleri ve eğilme sonucunda dönme etkisiyle ortaya çıkan eylemsizlik momenti de hesaba katılır. Bu nedenle Timsohenko teorisiyle bulunan bir problem çözümünün mutlaka Euler-Bernoulli teorisine göre daha doğru sonuçlar vermesi beklenir. Burada başka bir çok önemli nokta vardır ki o da, Timoshenko teorisinin kalın kirişlerde 6 kata kadar daha büyük ve doğru sonuç vermesidir. Bu nedenle Timoshenko teorisi "kalın kiriş teorisi" olarak da bilinir. Kiriş inceldiğinde ise, iki teori arasındaki sonuç farkı azalmaktadır ve ince kirişlerde nispeten çok yakın sonuçlar alınmaktadır.

 

Kategoriler:

Yapılan Yorumlar

Henüz kimse yorum yapmamış.

Bu sayfada yer alan bilgilerle ilgili sorularınızı sorabilir, eleştiri ve önerilerde bulunabilirsiniz. Yeni bilgiler ekleyerek sayfanın gelişmesine katkıda bulunabilirsiniz.

Yorum Yapın

Adınız:
E-Mail:
Mesajınız:
Doğrulama: Güvenlik Kodu
 
Hosts Dosyası Nedir?     Ekinoks Nedir?     Vista Transformation Pack 5.5     İntel'in Core 2 Duo E6400'ü %56'lık oc ile fiyat-performans kralı     Samsung'un 32 GB Flash Sürücüsü Görücüye Çıktı     Avedesk 1.3 Bölüm 1     M-Audio, Avid/Digidesign tarafından satın alındı - İki dev birleşti     Cubase 4 - Devrimci bir kilometre taşı Müzik prodüksiyon yazılımı.     M-Audio MobilePre USB - USB Beslemeli, Pre-amplifikatörlü USB Ses Kartı     VW Touran CCS (BiZEL Motorlu Tek Araç)     Windows Vista Güncelleştirme Paketi     Avedesk Bölüm2     StrokeIt 9.5     AMD: Fusion ile CPU ve GPU'yu Birleştiriyor.     Murat Günak kimdir?     Arama Motorları Nasıl Çalışır?     NanoTeknoloji Nedir?     Barkod Nedir?     VW Tiguan ( Küçük Touareg )     Java Destekli Telefonlar için 3D Performans ve Kalite Testleri     Cubase 4 - Kontrol Odası (Control Room)     SSL Nedir? Nasıl Çalışır?     MouseIMP Pro     Avedesk Bölüm 3 - Ave Scripter Eklentileri     Ürün İncelemesi: Toshiba USB 2.0 1GB Flash Bellek     Beklenen oyun: Trackmania UNITED çıktı!     H-racer ve Hydrogen Station     Windows Vista Sidebar     Ürün incelemesi: Saitek P3000 Wireless PRO Gamepad     Ürün İncelemesi: APC Back-UPS RS 1000VA Kesintisiz Güç kaynağı(KGK)     VISTA TRANSFORMATION PACK 6.0     Ekran Kartları Nasıl Çalışır?     AMD FireSTREAM Kartlara Logosunu Verdi     Yüzyılın icadı: Erke Dönergeci     Nintendo Wii Haber Kanalı Artık Yayında     Samsung'tan Dünyanın En İnce Cep Telefonu     Hidrojen Kullanan Otomobil Sayısı Her Geçen Gün Artıyor!     Saab Bio Power     Apple iPhone     10.000 Pardus     Super Mario artık Nintendo Wii ‘de     Vista'nın da çıkmasıyla beraber 4 çekirdekli işlemciler artık standart hale geliyor     TecrubeliPilotAraniyor.COM     Avedesk Eklentilerin Ayarlanması     Dünyanın İlk Boxer Turbo Dizel Motoru     Ford Mustang Giugiaro Konsept     Kuantum Bilgisayarlar Geliyor     Yüzyılın yarış oyunu: Test Drive Unlimited!     Dizüstü Canavarı: Monster T2-Rex T72M575U1     ATI Catalyst 7.2 Sürücüleri Çıktı!     Microsoft Virtual PC 2007     Video oyunları çocukları zayıflatıyor     Vista üzerinde IIS 7.0 Kurulumu     Kuantum Bilgisayarlar     Yahoo Messenger Vista !     MSN alternatifi, kullanıcıların yeni gözdesi: Trillian     Corel WordPerfect Lightning' in halka açık beta sürümünü yayımlıyor!     Intel 11X Fabrikasını Yenliyor     Toshiba'dan 51 GB HD DVD     F1'e geri sayım…     Casper, dört çekirdekli Intel CoreTM 2 Quad Q6600 işlemciye sahip yeni modelini pazara sundu.     HP iPAQ Voice Messenger 510 ; Ses tanıma, Wi-Fi, Windows Mobile 6.0 hepsi bir arada     Far Cry'ın devam oyunu, muhteşem grafikleriyle: Crysis     Değişen İklim Değil,Enerji Olsun!..     IBM Dünya'nın En Güçlü Bilgisayarını Geliştriyor     Küresel Isınmanın Nedenleri? Sebepleri?     Vista Aero Reloaded     Hard Disk Pazarının Kralı: Seagate     Yod'm 3D     Oyunlar yeni bir boyut kazandı: TrackIR!     Elbit Systems VIPeR "avcı-katil" robotu çıkarıyor     Yahoo'dan Sınırsız Email Kapasitesi     AeroClear Glass for Vista Theme     Adobe'den Ücretsiz PDF Oluşturma Hizmeti     Türk insanına has Google Logoları…     Hava Kirliliğini Arttıran Sıcaklık İnversiyonu- Bölüm2     Hava Kirliliğini Arttıran Sıcaklık İnversiyonu- Bölüm1     Vista'da Farklı Temalar Kullanmak     Ati HD2900XT, Nvidia 8800GTX'a Karşı: Crysis Demo ve 3DMark06 Testleri     Google Spreadsheets     NuSphere PhpED IDE     768MB 8800GTX, 512MB ATI HD 2900XT, 640MB 8800GTS Oyun ve 3DMark06 Testleri     Mucitlerimiz Gün Işığına Çıkıyor     İTÜRO     Nükleer Santraller: Nasıl Çalışır? Problemleri Nelerdir?     Vestel, Tamamen Türk Yapımı Yakıt Pili Üretti     İTÜ Robot Olimiyatları     Free Loader güneş pili     Hovercraft: Sınır Tanımayan Araç     Boğaziçi Üniv. Robot Günleri     Kuzey Işıkları'nın Dansı     Yenilenebilir Enerji Kaynakları Nelerdir?     Adobe CS3 ile Mac'te, Daha Fazla Şey Yapın     Motorlarda Yanma Odaları ve Özellikleri     Motorlarda Piston Tipleri ve Kullanılan Malzemeler     Güneş Enerjisi Nedir?     Crysis'in sahne tasarımlarına bir göz atalım     Colin McRae: DIRT     Hidrojen Yakıt Pilleri Nasıl Çalışır?     Geleceğin Yakıtı, Hidrojen Nedir?    
Coğrafya
Coğrafya Sitesi
Tarih Sitesi
Türkçe Sitesi
Bilgi Sitesi
Bilgiler