Euler-Bernoulli Kiriş Teorisi

Euler-Bernoulli kiriş teorisi veya diğer adıyla sadece kiriş teorisi, düzgün izotropik bir kirişin elastikliğinin basitleştirilmiş bir ifadesidir. Bu teori ile kirişlerin yük taşıma ve çökme karakteristikleri hesaplanır. İlk kez 1750'de söylenmiştir fakat 19. yüzyıldaki Eiffel Tower ve Ferris Wheel yapılarına kadar geçen süren sürede büyük ölçekte kabul görmemiştir. Bu başarılı örneklerinden sonra ise, hızlıca önemi artmış ve mühendisliğin yapıtaşlarından biri haline gelmiştir. Aynı zamanda ikinci endüstriyel devrimin de tetikleyicilerinden biridir.

Zamanla düzlem teorisi ve sonlu elemanlar analizi gibi ilave analiz araçları geliştirilmiştir fakat, basit kiriş teorisi bilmin ihtiyaç duyduğu en önemli araç olmaya devam etmiştir. Özellikle sivil ve mekanik mühendislik alanlarında büyük önem taşımıştır.

Tarihçe

İlk kiriş teorisi geliştirme girişimi Galileo Galilei tarafından yapılmış fakat çalışmalarıyla buna karşı çıkan Leonardo da Vinci ciddi gözlemleri ile Galilei'yi alt etmeyi başarmıştır. Daha sonra Galileo, Leonardo da Vinci'nin eksik Hooke Kanunu ve calculus teorisi ile yaptığı yanlış bir kabul vesilesiyle onu mağlup etmiş ve ününü geri kazanmıştır.

Bernoulli kirişi adını önemli buluşlara imza atan Jacob Bernolli'den sonra almıştır. Leonard Euler ve Daniel Bernoulli bu kullanışlı teoriyi ortaya koyan ilk kişilerdir. Bu sıralarda bilim ve endüstri alanları farklı taraflara ayrılmıştı ve akademisyenlerin oluşturduğu matematik çözümlere şüphe ile bakılırken pratikte güvenli ve kullanışlı uygulamalara güveniliyordu. Köprüler ve binalar 19. yüzyılda Euler-Bernoulli kiriş teorsinin Eiffel Kulesi gibi büyük ölçekte uygulamaları görülene kadar bilinen yöntemlerle yapılmaya devam etti.

Kiriş Denklemi

Uzun ince tek boyutlu izotropic malzemeden yapılmış kabul edilen bir kiriş için, elastiklik eğrisi şöyle tanımlanır:

Bu Euler-Bernoulli denklemi olarak bilinir. Kirişi x ekseni doğrultusunda bir boyutlu nesne gibi düşünürsek, u(x) eğrisi kirişteki çökmeyi tanımlar. Yayılı yük yani basıncın bir ifadesi olarak belirtilen w ise, x, u ve diğer değişkenlerin bir fonksiyonudur. E elastiklik modülüdür, I ise eylemsizlik modülüdür.

Burada, u = u(x), w = w(x), ve EI sabittir, yani:

Bu denklem düzgün sabit bir kirişte çökmeyi tanımlar ve mühendislik uygulamalarında kullanılan en temel öğelerden birisidir.

Terimlerin anlamları şunlardır:

- çökmedir.

- kirişin eğimidir.

- kirişin eğilme momentidir.

- kirişteki kayma gerilmesidir.

Bu kiriş kabule göre bir boyutlu nesne olarak tanımlıdır. Kiriş düzgün olmalı ve yayılı yükler düzlem içinde bulunmalı ve burulma olmamalıdır.

Bu sadeye çekme gerilmesi aşağıdaki biçimde tanımlanır:

Buradaki c, u doğrultusundadır ve tarafsız eksenle kuvvetin uygulanma doğrultusundaki mesafesini gösterir. M eğilme momentidir. Kirişin kesitini göz önüne alırsak en üst kısımda çekme, en alt kısımda ise basma gerilmeleri oluşur, bunlar aynı zamanda kirişteki maksimum gerilmelerdir. Kesidin tam ortadan geçen tarafsız eksen bir başka adıyla normal eksende ise, çekme ve basma gerilmesi değeri sıfırdır.

Sınır Şartları

Kiriş denklemi x'e göre türev alınarak hesaplanan en fazla dört sınır şartına sahiptir. Sınır şartları genellikle model destekleri yani onların noktaya etki eden yükleri, momentler ve diğer etkilerden oluşur.

Mesnetli Kiriş

Mesnetli kirişten bir örnek: Tek ucundan hiç hareket etmeyecek şekilde sabit olan kirişin diğer ucu da tamamen serbesttir. Hiç hareket etmeyecek şekilde sabit deyince çökme ve eğimin sıfır, tamamen serbest deyince de kayma kuvveti ve eğilme momentinin sıfır olduğu anlaşılır. EI'nın sabit olduğu durumda, x'in en sol koordinatı sıfır olarak alınır ve en sağ tarafı da L olarak düşünüldüğünde(L kirişin boyu olur) sınır şartları belirlenmiş olur:

En bilinen sınır şartları aşağıdakileri içerir:

- sabit bir destek olduğunu gösterir.

- pin bağlantısı olduğunu gösterir. (çökme ve moment sıfırdır).

- bağlantı ve dolayısıyla yük olmadığını gösterir.

- uygulama noktasında Fbüyüklüğünde bir kuvvet olduğunu gösterir.

Yükleme Durumu

Uygulama yükü sınır şartları altında veya w'nin fonksiyonu olarak bulunabilir. Yayılı yükleme kolaylık açısından sıklıkla tercih edilir. Sınır şartları modeldeki yüklerin belirlenmesinde ve özellikle titreşim analizlerinde kullanılır.

Nokta yükler modellenirken delta fonksiyonu yardımcı olarak kullanılır. Örneğin sabit mesnetli L uzunluğundaki bir kirişi düşünelim ve bunun serbest ucunun üst noktasına F yükü etki etsin. Sınır şartlarını göz önüne alarak şu şekilde ifade edilebilir:

Fonksiyon olarak,

Kayma gerilmesinin sınır şartları(3. Türev) kaldırıldı, aksi halde burada bir çelişki olurdu. Bunlar aynı sınır değeri problemleridir ve her ikisi de aynı sonuca çıkar:

Birkaç noktasal yükün farklı bölgelerde yüklendiği uygulamalarda u(x) önemli bir fonsiyona sahiptir. Bu fonksiyonun kullanımı durumu çok basite indirger, aksi taktirde kiriş her biri 4 farklı sınır şartına sahip olan bölümlere ayrılmak zorunda olurdu.

Akıllı formülasyon ile birçok farklı yük ve bu yüklerin oluşturduğu ilginç problemler rahatlıkla çözümlenebiliyor. Bunun örneği olarak, kirişteki titreşimler yükün bir fonksiyonu olarak kullanılarak hesaplanabilir:

Burada μ kirişin doğrusal yoğunluğudur ve kesinlikle bir sabit değildir. Bu zamana bağlı yük değişikliği denklemi kısmi diferansiyel bir eşitlik haline getirir. Bir başka ilginç örnek ise, kirişteki dönme hareketinin sabit açısal hız ω ile tanımlanmasıdır:

Timoshenko Kiriş Teorisi

Bu teori kirişteki kayma ve dönmenin oluşturduğu eylemsizlik momentini faktörlerinin Euler-Bernoulli teorisine ilave edilmişidir yani bir bakıma daha geliştirilmişidir. Kirişteki kayma gerilmeleri eğilme esnasında nesnenin iç yapısındaki deformasyonlar sebebiyle titreşimi sonucunda ortaya çıkar. Bu enine titreşimler, kirişe uygulanan dış kuvvetlere yani bunun oluşturduğu torka ve kirişin malzeme özelliklerine bağlıdır. Kirişte kayma etkilerinin göz önüne alınması için efektif bir kayma alanına ihtiyaç vardır. Timoshenko'nun kayma faktörü (k>1) bu alanı kA şeklinde ifade eder.

Timoshenko teorisinde hesaplamalar yapılırken kayma ve eylemsizlik momenti de göz önüne alındığından sonuç Euler-Bernoulli teorisine göre her zaman daha büyük çıkar. Timoshenko teorisi gerçeğe daha yakın sonuçlar veren bir teoridir. Özellikle büyük kesitli çok daha isabetli sonuçlar verdiğinden bu teori, kalın kiriş teorisi olarak bilinir. Euler-Bernoulli teorisi ise, tam tersi yönde yani ince kiriş teorisi olarak bilinmektedir. Bu iki teoriyle çözülen kiriş problemlerinde kiriş uzunluğu(L)'nin kesit yüksekliği(h)'a oranı büyüdükçe sonuçlar birbirine yaklaşır. Yani kesin olarak diyebiliriz ki, L/h oranı küçük olan problemlerde Timoshenko çok daha doğru sonuçlar vermektedir.

Timoshenko teorisinde ise,

şeklinde hesaplanır.

K:Timoshenko kayma katsayısı (〖Dikdörtgen kesit için: π〗^2/12≅0, 822)

E:Elastiklik modülü

G:Kayma elastiklik modülü

Sonuç

Timoshenko ve Euler-Bernoulli teorileri genel olarak kirişlerdeki sehim ve gerilmelerin hesaplandığı denklemlerden oluşur. İki teori de aynı amaca hizmet ederler. Temelde her iki teori de aynı amacı hizmet ediyor olsa da aralarında belli başlı farklılıklar bulunmaktadır ve bu farklılıkları şöyle izah edebiliriz.

Bu teorileri tek taraftan mesnetli basit bir kiriş düzeneğinde düşünürsek, kirişin serbest ucundan uygulanan tekil bir yük için Euler-Bernoulli teorisinde sadece bu kuvvetin oluşturduğu momentten kaynaklanan eğilme hesap edilir. Timoshenko teorisinde ise, bu kuvvetin oluşturduğu momentin yanı sıra kirişte malzemede kaynaklanan deformasyonlar ve dikey kuvvetler sebebiyle oluşan kayma gerilmeleri ve eğilme sonucunda dönme etkisiyle ortaya çıkan eylemsizlik momenti de hesaba katılır. Bu nedenle Timsohenko teorisiyle bulunan bir problem çözümünün mutlaka Euler-Bernoulli teorisine göre daha doğru sonuçlar vermesi beklenir. Burada başka bir çok önemli nokta vardır ki o da, Timoshenko teorisinin kalın kirişlerde 6 kata kadar daha büyük ve doğru sonuç vermesidir. Bu nedenle Timoshenko teorisi "kalın kiriş teorisi" olarak da bilinir. Kiriş inceldiğinde ise, iki teori arasındaki sonuç farkı azalmaktadır ve ince kirişlerde nispeten çok yakın sonuçlar alınmaktadır.

 

Kategoriler:

Yapılan Yorumlar

Henüz kimse yorum yapmamış.

Bu sayfada yer alan bilgilerle ilgili sorularınızı sorabilir, eleştiri ve önerilerde bulunabilirsiniz. Yeni bilgiler ekleyerek sayfanın gelişmesine katkıda bulunabilirsiniz.

Yorum Yapın

Güvenlik Kodu
Cubase 4 - Devrimci bir kilometre taşı Müzik prodüksiyon yazılımı.     Avedesk Bölüm2     Murat Günak kimdir?     Beklenen oyun: Trackmania UNITED çıktı!     Ürün incelemesi: Saitek P3000 Wireless PRO Gamepad     Hidrojen Kullanan Otomobil Sayısı Her Geçen Gün Artıyor!     Dünyanın İlk Boxer Turbo Dizel Motoru     Küresel Isınmanın Nedenleri? Sebepleri?     Elbit Systems VIPeR "avcı-katil" robotu çıkarıyor     Hava Kirliliğini Arttıran Sıcaklık İnversiyonu- Bölüm1     768MB 8800GTX, 512MB ATI HD 2900XT, 640MB 8800GTS Oyun ve 3DMark06 Testleri     Geleceğin Yakıtı, Hidrojen Nedir?     Zoho, Google Docs'a Yeni Rakip     ASUS Eee PC Notebook     Yeni iMac: Daha ince, Daha Güçlü!     Samsung'dan Yeni LCD'ler: 245BW ve 226CW     İlk Vista Oyunu Shadowrun, Aslında XP'de Çalışabiliyormuş     Norton Removal Tool (Norton'u Sistemden Kaldırmak)     Pro Evolution Soccer 2008 (PES)     Muhteşem Grafikleriyle, Far Cry 2     BMW X6 2008'de Yollarda     Race Driver: GRID Demo     Hidrojen Kullanma Yöntemleri ve İçten Yanmalı Motorlarda Hidrojen Kullanımı     Güneş-Hidrojen Sistemi     Sony Ericsson'a 2 yeni üye: C702 ve C902     Teknolojinin Zararları ve Çevre Kirliliği     Dünyanın İlk Hipersonik Yolcu Uçağı     Pusulanın İcadı, Pusula Nasıl Çalışır?     WordPress 2.3.3 locale.php     Açık Kaynak Kod ?     Windows XP İçin Service Pack 3 (SP3) Resmi Olarak Yayınlandı     Mafia 2: Mafya Efsanesi Geri Dönüyor…     Samsung D880: Çift Sim Kartlı Cep Telefonu     Lego Görünümlü USB Bellekler     Efsane Geri Döndü: Starcraft 2     Pilin İcadı (Alessandro Volta)     Mimar Sinan Kimdir?     Alfred Bernhard Nobel Kimdir?     James Watt Kimdir?     İbn Sina Kimdir?     Galileo Galilei Kimdir?     Arşimet (Archimedes) Kimdir? , Suyun Kaldırma Kuvveti     AMD 45nm'ye Geçtiğini Duyurdu!     Trackmania Forever!!!     12 Yaşındaki "Manyetik Adam" Dokunduğu Bilgisayarı Bozuyor     Microsoft Windows Smartkey Üzerinde Çalışıyor     Tekerleğin İcadı     Albert Einstein Kimdir?     Bilgiye Ulaşmanın En Kolay Yolu     Acer 6920 ve 8920G Günyüzüne Çıktı     AMD'nin Üç Çekirdekli(triple-core) Phenom İşlemcileri Hazır     Servo Motor Nedir? Nasıl Çalışır?     Prey 2     Transformatör Nedir? Nasıl Çalışır?     WordPress 2.5 Sürümü Yayınlandı     USB Belleğiniz İçin Ultra Dayanıklı Alüminyum Kasa     Vista Service Pack 1(SP1) Resmen Yayınlandı     LG LH2300: Full Multimedia Telefon     Drift Nedir? Nasıl Yapılır? Teknikleri Nelerdir?     Cellink T/M: Usb bellek, microSD kart okuyucu ve mobil şarj ünitesi bir arada     Kağıt Nedir? Kağıdın İcadı, Bulunuşu ve Yapılışı     Teclast M26: Tamamen Dokunmatik Cep Telefonu     Dünyanın En Pahalı Cep Telefonları     İpod İçin Ezan Vakitleri Programı: iAthan     Call of Duty 5: Yapım Aşamasında Olduğu Duyuruldu     Sadece Elektrikle Çalışan Araç: Tesla Roadster     Hava İle Çalışan Otomobil     Elektriğin Tarihsel Gelişimi (Elektriğin Tarihi)     Nötron Bombası Nedir? Etkileri Nelerdir?     HP Elite: 3 Megapiksellik Web Kamerası     S.T.A.L.K.E.R.: Clear Sky (STALKER'ın Devam Oyunu)     Motorsikletin İcadı     Sony Memory Stick PRO Duo ile 16GB Depolama İmkanı!     Samsung Instinct: iPhone'u Öldürmeyi Planlıyor     PowerCube 600: Güneş Enerjisi Jeneratörü     Motorola'da İşten Çıkarmalar ve Daralma Operasyonu Devam Ediyor     Akordyon Bellek: USB Flash Belleklerde Kapak Sorunu Çözüldü     Microsoft XP Satış ve Desteğini 2010'a Kadar Uzattı     Mozilla Fennec: Mobil Firefox Tarayıcı     Egsoz Nedir? Nasıl Çalışır?     Seagate'in Çırpınışları: SSD Üreticisi STEC'e Dava Açıldı     Sony HDR-TG3E Handycam: Dünyanın En Küçük Full HD Kamerası     Trackmania Nations Forever !!!     Microsoft'tan Joy Division Hayranlarına Zune Player     Güneş Enerjisiyle Çalışan Ekonomik Şarj Aleti     Google Maps'e Trafik Hizmeti Eklendi     Intel Atom 1.6Ghz, Via Isaiah 1.6Ghz Karşısında Fena Çuvalladı!     Sanyo Xacti DMX-CA8: Su Geçirmez El Kamerası     AMD'den 6 ve 12 Çekirdekli İSTANBUL İşlemcileri     Web Tarayıcınız Güncel Değilse, PayPal Kullanamayacaksınız     BenQ'ten Atom İşlemcili Kompakt Bilgisayar     Krank Mili Nedir? Nasıl Çalışır?     Otomobillerde Soğutma Sistemi Nedir? Nasıl Çalışır?     Türk Telekom'dan Görüntülü Telefon Hizmeti(Videofon)     Google Görsel(Resim) Arama Fonksiyonunda Çağ Atlıyor     Samsung P960: İlk Mobil TV Cihazı     Dizel Motoru Nedir? Nasıl Çalışır?     Star Wars'ın Sevimli Robotu R2-D2 Projektör Oldu     Yeni Nesil Toyota Prius: Daha Güçlü Motor ve Daha Fazla Verim     Western Digital Velociraptor    
Coğafya Tarih Sitesi Matematik Sorusu Türkçe Sitesi