Euler-Bernoulli Kiriş Teorisi

Euler-Bernoulli kiriş teorisi veya diğer adıyla sadece kiriş teorisi, düzgün izotropik bir kirişin elastikliğinin basitleştirilmiş bir ifadesidir. Bu teori ile kirişlerin yük taşıma ve çökme karakteristikleri hesaplanır. İlk kez 1750'de söylenmiştir fakat 19. yüzyıldaki Eiffel Tower ve Ferris Wheel yapılarına kadar geçen süren sürede büyük ölçekte kabul görmemiştir. Bu başarılı örneklerinden sonra ise, hızlıca önemi artmış ve mühendisliğin yapıtaşlarından biri haline gelmiştir. Aynı zamanda ikinci endüstriyel devrimin de tetikleyicilerinden biridir.

Zamanla düzlem teorisi ve sonlu elemanlar analizi gibi ilave analiz araçları geliştirilmiştir fakat, basit kiriş teorisi bilmin ihtiyaç duyduğu en önemli araç olmaya devam etmiştir. Özellikle sivil ve mekanik mühendislik alanlarında büyük önem taşımıştır.

Tarihçe

İlk kiriş teorisi geliştirme girişimi Galileo Galilei tarafından yapılmış fakat çalışmalarıyla buna karşı çıkan Leonardo da Vinci ciddi gözlemleri ile Galilei'yi alt etmeyi başarmıştır. Daha sonra Galileo, Leonardo da Vinci'nin eksik Hooke Kanunu ve calculus teorisi ile yaptığı yanlış bir kabul vesilesiyle onu mağlup etmiş ve ününü geri kazanmıştır.

Bernoulli kirişi adını önemli buluşlara imza atan Jacob Bernolli'den sonra almıştır. Leonard Euler ve Daniel Bernoulli bu kullanışlı teoriyi ortaya koyan ilk kişilerdir. Bu sıralarda bilim ve endüstri alanları farklı taraflara ayrılmıştı ve akademisyenlerin oluşturduğu matematik çözümlere şüphe ile bakılırken pratikte güvenli ve kullanışlı uygulamalara güveniliyordu. Köprüler ve binalar 19. yüzyılda Euler-Bernoulli kiriş teorsinin Eiffel Kulesi gibi büyük ölçekte uygulamaları görülene kadar bilinen yöntemlerle yapılmaya devam etti.

Kiriş Denklemi

Uzun ince tek boyutlu izotropic malzemeden yapılmış kabul edilen bir kiriş için, elastiklik eğrisi şöyle tanımlanır:

Bu Euler-Bernoulli denklemi olarak bilinir. Kirişi x ekseni doğrultusunda bir boyutlu nesne gibi düşünürsek, u(x) eğrisi kirişteki çökmeyi tanımlar. Yayılı yük yani basıncın bir ifadesi olarak belirtilen w ise, x, u ve diğer değişkenlerin bir fonksiyonudur. E elastiklik modülüdür, I ise eylemsizlik modülüdür.

Burada, u = u(x), w = w(x), ve EI sabittir, yani:

Bu denklem düzgün sabit bir kirişte çökmeyi tanımlar ve mühendislik uygulamalarında kullanılan en temel öğelerden birisidir.

Terimlerin anlamları şunlardır:

- çökmedir.

- kirişin eğimidir.

- kirişin eğilme momentidir.

- kirişteki kayma gerilmesidir.

Bu kiriş kabule göre bir boyutlu nesne olarak tanımlıdır. Kiriş düzgün olmalı ve yayılı yükler düzlem içinde bulunmalı ve burulma olmamalıdır.

Bu sadeye çekme gerilmesi aşağıdaki biçimde tanımlanır:

Buradaki c, u doğrultusundadır ve tarafsız eksenle kuvvetin uygulanma doğrultusundaki mesafesini gösterir. M eğilme momentidir. Kirişin kesitini göz önüne alırsak en üst kısımda çekme, en alt kısımda ise basma gerilmeleri oluşur, bunlar aynı zamanda kirişteki maksimum gerilmelerdir. Kesidin tam ortadan geçen tarafsız eksen bir başka adıyla normal eksende ise, çekme ve basma gerilmesi değeri sıfırdır.

Sınır Şartları

Kiriş denklemi x'e göre türev alınarak hesaplanan en fazla dört sınır şartına sahiptir. Sınır şartları genellikle model destekleri yani onların noktaya etki eden yükleri, momentler ve diğer etkilerden oluşur.

Mesnetli Kiriş

Mesnetli kirişten bir örnek: Tek ucundan hiç hareket etmeyecek şekilde sabit olan kirişin diğer ucu da tamamen serbesttir. Hiç hareket etmeyecek şekilde sabit deyince çökme ve eğimin sıfır, tamamen serbest deyince de kayma kuvveti ve eğilme momentinin sıfır olduğu anlaşılır. EI'nın sabit olduğu durumda, x'in en sol koordinatı sıfır olarak alınır ve en sağ tarafı da L olarak düşünüldüğünde(L kirişin boyu olur) sınır şartları belirlenmiş olur:

En bilinen sınır şartları aşağıdakileri içerir:

- sabit bir destek olduğunu gösterir.

- pin bağlantısı olduğunu gösterir. (çökme ve moment sıfırdır).

- bağlantı ve dolayısıyla yük olmadığını gösterir.

- uygulama noktasında Fbüyüklüğünde bir kuvvet olduğunu gösterir.

Yükleme Durumu

Uygulama yükü sınır şartları altında veya w'nin fonksiyonu olarak bulunabilir. Yayılı yükleme kolaylık açısından sıklıkla tercih edilir. Sınır şartları modeldeki yüklerin belirlenmesinde ve özellikle titreşim analizlerinde kullanılır.

Nokta yükler modellenirken delta fonksiyonu yardımcı olarak kullanılır. Örneğin sabit mesnetli L uzunluğundaki bir kirişi düşünelim ve bunun serbest ucunun üst noktasına F yükü etki etsin. Sınır şartlarını göz önüne alarak şu şekilde ifade edilebilir:

Fonksiyon olarak,

Kayma gerilmesinin sınır şartları(3. Türev) kaldırıldı, aksi halde burada bir çelişki olurdu. Bunlar aynı sınır değeri problemleridir ve her ikisi de aynı sonuca çıkar:

Birkaç noktasal yükün farklı bölgelerde yüklendiği uygulamalarda u(x) önemli bir fonsiyona sahiptir. Bu fonksiyonun kullanımı durumu çok basite indirger, aksi taktirde kiriş her biri 4 farklı sınır şartına sahip olan bölümlere ayrılmak zorunda olurdu.

Akıllı formülasyon ile birçok farklı yük ve bu yüklerin oluşturduğu ilginç problemler rahatlıkla çözümlenebiliyor. Bunun örneği olarak, kirişteki titreşimler yükün bir fonksiyonu olarak kullanılarak hesaplanabilir:

Burada μ kirişin doğrusal yoğunluğudur ve kesinlikle bir sabit değildir. Bu zamana bağlı yük değişikliği denklemi kısmi diferansiyel bir eşitlik haline getirir. Bir başka ilginç örnek ise, kirişteki dönme hareketinin sabit açısal hız ω ile tanımlanmasıdır:

Timoshenko Kiriş Teorisi

Bu teori kirişteki kayma ve dönmenin oluşturduğu eylemsizlik momentini faktörlerinin Euler-Bernoulli teorisine ilave edilmişidir yani bir bakıma daha geliştirilmişidir. Kirişteki kayma gerilmeleri eğilme esnasında nesnenin iç yapısındaki deformasyonlar sebebiyle titreşimi sonucunda ortaya çıkar. Bu enine titreşimler, kirişe uygulanan dış kuvvetlere yani bunun oluşturduğu torka ve kirişin malzeme özelliklerine bağlıdır. Kirişte kayma etkilerinin göz önüne alınması için efektif bir kayma alanına ihtiyaç vardır. Timoshenko'nun kayma faktörü (k>1) bu alanı kA şeklinde ifade eder.

Timoshenko teorisinde hesaplamalar yapılırken kayma ve eylemsizlik momenti de göz önüne alındığından sonuç Euler-Bernoulli teorisine göre her zaman daha büyük çıkar. Timoshenko teorisi gerçeğe daha yakın sonuçlar veren bir teoridir. Özellikle büyük kesitli çok daha isabetli sonuçlar verdiğinden bu teori, kalın kiriş teorisi olarak bilinir. Euler-Bernoulli teorisi ise, tam tersi yönde yani ince kiriş teorisi olarak bilinmektedir. Bu iki teoriyle çözülen kiriş problemlerinde kiriş uzunluğu(L)'nin kesit yüksekliği(h)'a oranı büyüdükçe sonuçlar birbirine yaklaşır. Yani kesin olarak diyebiliriz ki, L/h oranı küçük olan problemlerde Timoshenko çok daha doğru sonuçlar vermektedir.

Timoshenko teorisinde ise,

şeklinde hesaplanır.

K:Timoshenko kayma katsayısı (〖Dikdörtgen kesit için: π〗^2/12≅0, 822)

E:Elastiklik modülü

G:Kayma elastiklik modülü

Sonuç

Timoshenko ve Euler-Bernoulli teorileri genel olarak kirişlerdeki sehim ve gerilmelerin hesaplandığı denklemlerden oluşur. İki teori de aynı amaca hizmet ederler. Temelde her iki teori de aynı amacı hizmet ediyor olsa da aralarında belli başlı farklılıklar bulunmaktadır ve bu farklılıkları şöyle izah edebiliriz.

Bu teorileri tek taraftan mesnetli basit bir kiriş düzeneğinde düşünürsek, kirişin serbest ucundan uygulanan tekil bir yük için Euler-Bernoulli teorisinde sadece bu kuvvetin oluşturduğu momentten kaynaklanan eğilme hesap edilir. Timoshenko teorisinde ise, bu kuvvetin oluşturduğu momentin yanı sıra kirişte malzemede kaynaklanan deformasyonlar ve dikey kuvvetler sebebiyle oluşan kayma gerilmeleri ve eğilme sonucunda dönme etkisiyle ortaya çıkan eylemsizlik momenti de hesaba katılır. Bu nedenle Timsohenko teorisiyle bulunan bir problem çözümünün mutlaka Euler-Bernoulli teorisine göre daha doğru sonuçlar vermesi beklenir. Burada başka bir çok önemli nokta vardır ki o da, Timoshenko teorisinin kalın kirişlerde 6 kata kadar daha büyük ve doğru sonuç vermesidir. Bu nedenle Timoshenko teorisi "kalın kiriş teorisi" olarak da bilinir. Kiriş inceldiğinde ise, iki teori arasındaki sonuç farkı azalmaktadır ve ince kirişlerde nispeten çok yakın sonuçlar alınmaktadır.

 

Kategoriler:

Yapılan Yorumlar

Henüz kimse yorum yapmamış.

Bu sayfada yer alan bilgilerle ilgili sorularınızı sorabilir, eleştiri ve önerilerde bulunabilirsiniz. Yeni bilgiler ekleyerek sayfanın gelişmesine katkıda bulunabilirsiniz.

Yorum Yapın

Güvenlik Kodu
AMD'nin Üç Çekirdekli(triple-core) Phenom İşlemcileri Hazır     Teclast M26: Tamamen Dokunmatik Cep Telefonu     Call of Duty 5: Yapım Aşamasında Olduğu Duyuruldu     HP, RAM'lara Çağ Atlatmaya Hazırlanıyor     Tom Clancy's Splinter Cell Conviction     .htaccess Dosya Oluşturma     SMF CSS Düzenlemeleri İle Tema Yapımı     Ubuntu 9.04 sürümü yayınlandı     Enerji tasarruflu monitör     Windows 7'de güvenlik açığı bulundu     Windows Live Yenilendi     Joomla!     SMF için ufak ipuçları     Samsung'dan Daha Çok Alan Daha Az Enerji     Ürün inceleme: Brando Ekran Koruyucu Film     Yeni Blogculara Altın Öğütler     Hafıza Yöntemleri - Hafızamızı En İyi Nasıl Kullanırız?     Sıcak Su Kazanlarının Parçaları ve Emniyet Elemanları     Google Katili WolframAlpha Geliyor !     Kalp Hastalıklarının Tedavisinde Yeni Buluşlar     Siber Dünya Ve Bilgi Güvenliği     Mevsimler ve Oluşumu     Moral Ve Motivasyon     Gürcistan     Suriye     Lübnan     Arnavutluk     XX. Yüzyılda Nükleer Güç     Silverlight 3.0 Seminerleri     Video Kaydı ve Gösterilmesi     Asit Yağmurları Nedir ? Nasıl Oluşur ? Etkileri Nelerdir ?     Trafik Mühendisliği     Türkiye'nin Ekonomik Coğrafyası     Çocuklar İçin Ucuz Bilgisayar     Ütü Nedir? Nasıl Çalışır?     Ne Sitesi Açsam Da Çok Para Kazansam?     Andromeda'nın Tarihçesi     Romatizma Nedir? Hava Şartlarının Romatizmaya Etkisi Var Mıdır?     Et Yiyen(Etobur) Bitkiler     Fosfor Nedir? Fosfor Döngüsü ve Fosforun Vücudumuzdaki İşlevi     "1 Nisan" Çelişkisi Nedir? 1 Nisan'da Şaka Yapmak Neden Yanlıştır?     Https Nedir? Twitter'da Güvenli Https Nasıl Aktif Hale Getirilir?     Lotus Bitkisi ve İnanılmaz Özellikleri     Şeker Hastalığı(Diyabet) Nedir? Belirtileri ve Türleri Nelerdir?     Enerji İçecekleri ve İnsan Vücuduna Etkisi     Biyomalzeme: Vücutta Kullanılan Yapay Malzemeler     Kingston DataTraveler Ultimate G2 - Usb 3.0 Bellek İncelemesi     ‘İnsan' Olmak     Atanamayan Öğretmen Mi? Ataması Yapılmayan Öğretmen Mi?     Dünyada Yeni Bir Akım: Facebook Çılgınlığı     Tim Berners- Lee Kimdir?     Mitoloji Nedir? Nasıl Oluşmuştur?     Felsefeyi Anlamak     Fen Bilimleri Nedir?     Din ve İnsanın İç Dünyası Arasındaki İlişki Nasıldır?     Ahtapotların Yaşamı ve Bilinmeyen Özellikleri     Biz İnsanlar Neden Koyun Gibi Yaşıyoruz?     Müzik ile Tedavi Mümkün Müdür?     Özgeçmiş(CV) Nedir? Kaliteli Bir CV Nasıl Hazırlanır?     Uzun Yaşamın Formülü Nedir?     Yedikule Zindanları Efsanesi     Dinozorlar: Dev Sürüngenlerin Yok Oluşu     Mumyalama Nedir? Nasıl Yapılır ve Mumyalamanın Tarihçesi     Adet Düzensizliği Nedir?     Pellegra Hastalığı Nedir?     Tahin Nasıl Yapılır? Faydaları ve Zararları Nelerdir?     Doğanın Mucizesi: Polen     Çocuğunuzun Sözel-Dilsel Zekaya Sahip Olduğunu Nasıl Anlarsınız?     Reyting Nedir? Nasıl Ölçülür?     Msp Messenger Nedir? Nasıl Kullanılır?     Anason Bitkisi Nedir? Faydaları Nelerdir?     Bir Milyon Dolarlık Köpek: Tibet Mastifi     Otizm Nedir? Tedavisi Mümkün Müdür?     Uykuda Yatış Pozisyonumuz Nasıl Olmalıdır?     İkinci El Otomobil İncelenirken Bakılması Gereken En Önemli Noktalar Nelerdir?     Bilişim Suçu Ne Demektir?     İnternet Mecrasında Farklı Bir Akım: Sözlükler     E-Ticaret Nedir? İnternetten Nasıl Ticaret Yapılır?     El ve Ayak Bakımı Nasıl Yapılmalıdır?     Tapınak Şövalyeleri Kimdir?     Kozmetik Ürünlerin Cilde Zararı Var Mıdır?     Paskalya Adası Heykellerinin Sırrı     Saçlarda Kepeklenmenin Nedenleri ve Tedavi Yöntemleri     Ballıca Mağarası - Tokat     Mayoz Bölünme Nedir? Evreleri Nelerdir?     Düztabanlık Nedir? Belirtileri ve Tedavi Yöntemleri Nelerdir?     Kızamık Nedir? Belirtileri ve Tedavi Yöntemleri Nelerdir?     Bazı Canlıların Görme Duyuları ve İlginç Özellikleri     Kalıtım ve İnsan     Parkinson Hastalığı Nedir? Tedavisi Nasıl Yapılır?     Unutkanlığın Nedeni Nedir? Güçlü Bir Hafıza İçin Yapılması Gerekenler Nelerdir?     Sağlıklı Kilo Almak İçin Neler Yapılabilir?     Kıl Dönmesi Nedir? Sebepleri, Belirtileri ve Tedavi Yöntemleri Nelerdir?     Damar Sertliği Nedir? Belirtileri ve Tedavi Yöntemleri Nelerdir?     Mide Ülseri Nedir? Tedavisi Nasıl Yapılır?     Esperanto Nedir?     Karpuzun Faydaları Nelerdir?     Astroloji Nedir? Tarihteki Gelişimi Nasıldır?     Güneş Enerjisi İle Çalışan Araba     Kamburluk Nedir? Sebepleri ve Tedavi Yöntemleri Nelerdir?    
Coğafya Tarih Sitesi Matematik Sorusu Türkçe Sitesi