SAYILAR

Sayılar, sayı sistemi adı verilen bir sistem ile sınıflara ayrılmışlardır. Bu sistem oluşumuna göre (sırasıyla) :

1) Doğal Sayılar

2) Tam Sayılar

3) Rasyonel Sayılar

4) Gerçel (Reel) Sayılar

şeklinde sıralanabilir.

1) Doğal Sayılar

Genel olarak düşünülecek olursa en sık kullanılan sayı çeşididir. Her insan bazı durumlarda bir şeyler saymak isteyebilir. İşte hemen her insanın kullandığı sayı çeşidi bu sayılardır.

Hepimiz doğal sayıların ne olduğunu sezgisel olarak biliyoruz; 0, 1, 2, . . . , m, . . . Diğer bütün sayı sistemleri doğal sayılar yardımıyla oluşturulmaktadır. Bu yüzden öncelikle bu sayıları tanımlayarak başlayalım:

İlk birkaç tane doğal sayıyı şöyle oluşturabiliriz:

0= Ø

1={0}

2={0, 1}

3={0, 1, 2}

.

.

Başka bir ifadeyle bu sayılar  olarak gösterilebilir. Ancak tüm doğal sayıları düşünecek olursak hepsini bu biçimde tanımlamak ilerledikçe daha da zorlaşacaktır. O halde şöyle bir gösterimi kullanabiliriz:

İlk doğal sayının Ø olduğunu ve tanımlanan bir  doğal sayısı için bu sayıdan sonra gelen ilk doğal sayının  olacağını gördük. Şimdi birkaç tanım yapalım:

Tanım

A bir küme olmak üzere A'nın ardışığı

biçiminde tanımlanan  kümesi olsun diyelim.

Bu tanıma göre doğal sayıları  olarak alabileceğimiz görülür. Bu yolla istenen m doğal sayısına ulaşılabilir. Fakat bu yöntem doğal sayılar kümesini kurmak için yeterli değildir. Böyle bir kümenin varlığı bu şekilde gösterilemez. Çünkü şimdiye kadar yaptıklarımızla boş kümeyi bulunduran ve bir A kümesini kapsadığında kümesini de kapsayan bir küme var mıdır? sorusu şuan için yanıtsız kalmaktadır.

Tanım

olmak üzere  için  koşulunu gerçekleyen bir X kümesine ardıllı küme adı verilir.

Bu tanımı verdikten sonra yukarıdaki soruya aşağıdaki "sonsuzluk aksiyomu" ile olumlu bir yanıt verebiliriz:

Aksiyom ( Sonsuzluk Aksiyomu )

Bir ardıllı küme vardır.

Bu aksiyoma göre anlıyoruz ki bir ardıllı küme sonsuz çoklukta öğe içermektedir. O halde diyebiliriz ki doğal sayılar kümesi, bütün ardıllı kümelerin, kümelerdeki kapsama göre, en küçüğü olarak alabiliriz. Bu tanımı yapmadan önce şu teoreme bakalım:

Teorem

Bütün ardıllı kümelerin kesişimi yine bir ardıllı kümedir.

İspat:

Tanım

Bütün ardıllı kümelerin kesişimi olan N kümesine doğal sayılar kümesi denir. N kümesinin elemanlarına da doğal sayılar ismi verilir.

2) Tam Sayılar

Yukarıda doğal sayıları anlatmıştık. Doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlanan bazı denklemlerin çözüm kümeleri mevcut değildir. Örneğin, x bilinmeyen bir sayı olmak üzere x + 3 = 8 denklemini sağlayan x bilinmeyenini belirlemek istersek söz konusu denklemin N üzerindeki çözümü x = 5 olduğu açıktır.

Öte yandan x + 4 = 6 denklemini N içinde çözemeyiz çünkü bu denklemin çözümü olan x bilinmeyeni bir negatif sayıdır ve N kümesinde negatif sayı bulunmadığı için elimizdeki denklemin N kümesinde bir çözümü yoktur. İşte bu sebeple N kümesini genişletme zorunluluğu doğmuştur ki bahsi geçen ve ona benzer denklerim çözümü bulunabilsin.

Her bir doğal sayıyı, iki doğal sayının farkı olarak çeşitli şekillerde yazabiliriz. Örneğin 4 sayısını

4-0, 5-1, 6-2, . . .

olarak yazabiliriz. Birinci terimden ikinci terimin çıkarıldığı bu ifadelere

(4, 0), (5, 1), (6, 2), . . .

şeklinde sıralı ikililer karşılık getirecek olursak bu sıralı ikililerin ortak özelliği (a, b), (c, d) gibi herhangi iki sıralı ikili için

a + d = b + c

biçiminde olmasıdır. 4 için yapılan bu işlemin diğer tüm doğal sayılar için de tekrarlanabileceği açıktır. Doğal sayılar için uygulanan bu yöntemi bir adım ileri taşırsak şöyle bir bağıntıyı tanımlamamız gerekmektedir:

Tanım

N x N üzerinde bir  bağıntısı  için

(a, b) (c, d) a + d = b + c

olarak tanımlansın. N x N üzerindeki bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğu kolayca gösterilebilir. (N x N) / denklik bölükleri kümesine tamsayılar kümesi adı verilir ve Z ile gösterilir. Z'nin [(a, b)] gibi bir denklik bölüğüne de bir tamsayı denir ve kısalık olması açısından

[a, b] = [(a, b)]

gösterimi kullanılabilir.

3) Rasyonel Sayılar

Şimdiye kadar tanımladığımız iki sayı sistemi kimi denklemleri çözmek için hala yetersiz kalmaktadır. Örneğin 5x = 3 denklemini ele alalım. Bu denklemin çözümü  ile  eşitsizliklerinin ortak çözümünden elde edilir. Bunlardan ilkinin çözümüne Ç* ve diğerine de Ç** diyecek olursak

bulunur. Bulunan bu iki çözüm kümesinin ara kesiti olan  olduğuna göre Z içinde 5x = 3 denkleminin çözümü yoktur.

Teorem

Z*= Z{0} olmak üzere

Z x Z* üzerinde  için (m, n) ~ (p, r) m. r = n. p ile tanımlanan ~ bağıntısı bir eşlik bağıntısıdır.

İspat

1. (m, n) Z x Z için (m, n) ~ (m, n) olur çünkü m. n = n. m dir.

2. (m, n) ~ (p, r) ise m. r = n. p ve p. n = r. m  (p, r) ~ (m, n) dir.

3. (m, n) ~ (p, r) ve (p, r) ~ (m, n) ise m. r = n. p ve p. s =r. k dir. p = 0 ise m = 0 = r çıkar. Bu durumda m. s = n. k (m, n) ~ (k, s) dir. p 0 ise m. (p. s) = m. (r. k) = (m. r). k = (n. p). k (m. s). p = (n. k). p m. s = n. k (m, n) ~ (n, r) olarak istenen elde edilir.

Tanım

(Z x Z* )/~ denklik bölükleri kümesine rasyonel sayılar kümesi denir ve Q ile gösterilir. Q kümesinin herhangi bir elemanına da rasyonel sayı denir.

Örneğin  elemanını içeren bir denklik bölüğünü [(m, n)] ile gösterirsek,

[(0, 1)], [(1, 3)], [(0, -5)] birer rasyonel sayı olacaktır.

4) Gerçel Sayılar

x. x = 2 olacak biçimde hiçbir  rasyonel sayısının olmadığını gösterelim:

Tersine x. x = 2 olacak şekilde bir  rasyonel sayısının bulunduğunu düşünelim. Burada  sayılarının 1 den başka ortak böleninin bulunmadığını varsayabiliriz. Şimdi

bulunur. 2|2. n olduğundan 2|m ve buradan da 2|m bulunur. O halde m = 2. p  olmalıdır. Bu bilgiyi  eşitliğinde kullanırsak  dir. Böylece m = 2. p, n = 2. q eşitlikleri yukarıdaki düşünce ile çelişmektedir. O halde x. x = 2 olacak şekilde hiçbir rasyonel sayısı yoktur.

Yukarıdaki örnekte görüldüğü üzere  denklemi için, daha önce tanımlanan sayı sistemlerini düşündüğümüzde, bir çözüm bulamadık. Denklemin çözümü olan  olarak göstereceğimiz sayıyı sayılar ekseni üzerinde gösterebileceğimize göre rasyonel sayılar kümesi de bazı denklemlerin çözümü için yetersiz kalmaktadır. Bu yüzden Gerçel (Reel) Sayıları tanımlayalım.

Tanım

Bir  rasyonel sayılar kümesi

Tanım

Dedekind kesimlerine gerçel sayılar denir ve gerçel sayılar kümesi R ile gösterilir.