02/12/2014 1:06
SAYILAR

Sayılar, sayı sistemi adı verilen bir sistem ile sınıflara ayrılmışlardır. Bu sistem oluşumuna göre (sırasıyla) :

1) Doğal Sayılar

2) Tam Sayılar

3) Rasyonel Sayılar

4) Gerçel (Reel) Sayılar

şeklinde sıralanabilir.

1) Doğal Sayılar

Genel olarak düşünülecek olursa en sık kullanılan sayı çeşididir. Her insan bazı durumlarda bir şeyler saymak isteyebilir. İşte hemen her insanın kullandığı sayı çeşidi bu sayılardır.

Hepimiz doğal sayıların ne olduğunu sezgisel olarak biliyoruz; 0, 1, 2, . . . , m, . . . Diğer bütün sayı sistemleri doğal sayılar yardımıyla oluşturulmaktadır. Bu yüzden öncelikle bu sayıları tanımlayarak başlayalım:

İlk birkaç tane doğal sayıyı şöyle oluşturabiliriz:

0= Ø

1={0}

2={0, 1}

3={0, 1, 2}

.

.

Başka bir ifadeyle bu sayılar  olarak gösterilebilir. Ancak tüm doğal sayıları düşünecek olursak hepsini bu biçimde tanımlamak ilerledikçe daha da zorlaşacaktır. O halde şöyle bir gösterimi kullanabiliriz:

İlk doğal sayının Ø olduğunu ve tanımlanan bir  doğal sayısı için bu sayıdan sonra gelen ilk doğal sayının  olacağını gördük. Şimdi birkaç tanım yapalım:

Tanım

A bir küme olmak üzere A'nın ardışığı

biçiminde tanımlanan  kümesi olsun diyelim.

Bu tanıma göre doğal sayıları  olarak alabileceğimiz görülür. Bu yolla istenen m doğal sayısına ulaşılabilir. Fakat bu yöntem doğal sayılar kümesini kurmak için yeterli değildir. Böyle bir kümenin varlığı bu şekilde gösterilemez. Çünkü şimdiye kadar yaptıklarımızla boş kümeyi bulunduran ve bir A kümesini kapsadığında kümesini de kapsayan bir küme var mıdır? sorusu şuan için yanıtsız kalmaktadır.

Tanım

olmak üzere  için  koşulunu gerçekleyen bir X kümesine ardıllı küme adı verilir.

Bu tanımı verdikten sonra yukarıdaki soruya aşağıdaki "sonsuzluk aksiyomu" ile olumlu bir yanıt verebiliriz:

Aksiyom ( Sonsuzluk Aksiyomu )

Bir ardıllı küme vardır.

Bu aksiyoma göre anlıyoruz ki bir ardıllı küme sonsuz çoklukta öğe içermektedir. O halde diyebiliriz ki doğal sayılar kümesi, bütün ardıllı kümelerin, kümelerdeki kapsama göre, en küçüğü olarak alabiliriz. Bu tanımı yapmadan önce şu teoreme bakalım:

Teorem

Bütün ardıllı kümelerin kesişimi yine bir ardıllı kümedir.

İspat:

Tanım

Bütün ardıllı kümelerin kesişimi olan N kümesine doğal sayılar kümesi denir. N kümesinin elemanlarına da doğal sayılar ismi verilir.

2) Tam Sayılar

Yukarıda doğal sayıları anlatmıştık. Doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlanan bazı denklemlerin çözüm kümeleri mevcut değildir. Örneğin, x bilinmeyen bir sayı olmak üzere x + 3 = 8 denklemini sağlayan x bilinmeyenini belirlemek istersek söz konusu denklemin N üzerindeki çözümü x = 5 olduğu açıktır.

Öte yandan x + 4 = 6 denklemini N içinde çözemeyiz çünkü bu denklemin çözümü olan x bilinmeyeni bir negatif sayıdır ve N kümesinde negatif sayı bulunmadığı için elimizdeki denklemin N kümesinde bir çözümü yoktur. İşte bu sebeple N kümesini genişletme zorunluluğu doğmuştur ki bahsi geçen ve ona benzer denklerim çözümü bulunabilsin.

Her bir doğal sayıyı, iki doğal sayının farkı olarak çeşitli şekillerde yazabiliriz. Örneğin 4 sayısını

4-0, 5-1, 6-2, . . .

olarak yazabiliriz. Birinci terimden ikinci terimin çıkarıldığı bu ifadelere

(4, 0), (5, 1), (6, 2), . . .

şeklinde sıralı ikililer karşılık getirecek olursak bu sıralı ikililerin ortak özelliği (a, b), (c, d) gibi herhangi iki sıralı ikili için

a + d = b + c

biçiminde olmasıdır. 4 için yapılan bu işlemin diğer tüm doğal sayılar için de tekrarlanabileceği açıktır. Doğal sayılar için uygulanan bu yöntemi bir adım ileri taşırsak şöyle bir bağıntıyı tanımlamamız gerekmektedir:

Tanım

N x N üzerinde bir  bağıntısı  için

(a, b) (c, d) a + d = b + c

olarak tanımlansın. N x N üzerindeki bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğu kolayca gösterilebilir. (N x N) / denklik bölükleri kümesine tamsayılar kümesi adı verilir ve Z ile gösterilir. Z'nin [(a, b)] gibi bir denklik bölüğüne de bir tamsayı denir ve kısalık olması açısından

[a, b] = [(a, b)]

gösterimi kullanılabilir.

3) Rasyonel Sayılar

Şimdiye kadar tanımladığımız iki sayı sistemi kimi denklemleri çözmek için hala yetersiz kalmaktadır. Örneğin 5x = 3 denklemini ele alalım. Bu denklemin çözümü  ile  eşitsizliklerinin ortak çözümünden elde edilir. Bunlardan ilkinin çözümüne Ç* ve diğerine de Ç** diyecek olursak

bulunur. Bulunan bu iki çözüm kümesinin ara kesiti olan  olduğuna göre Z içinde 5x = 3 denkleminin çözümü yoktur.

Teorem

Z*= Z{0} olmak üzere

Z x Z* üzerinde  için (m, n) ~ (p, r) m. r = n. p ile tanımlanan ~ bağıntısı bir eşlik bağıntısıdır.

İspat

1. (m, n) Z x Z için (m, n) ~ (m, n) olur çünkü m. n = n. m dir.

2. (m, n) ~ (p, r) ise m. r = n. p ve p. n = r. m  (p, r) ~ (m, n) dir.

3. (m, n) ~ (p, r) ve (p, r) ~ (m, n) ise m. r = n. p ve p. s =r. k dir. p = 0 ise m = 0 = r çıkar. Bu durumda m. s = n. k (m, n) ~ (k, s) dir. p 0 ise m. (p. s) = m. (r. k) = (m. r). k = (n. p). k (m. s). p = (n. k). p m. s = n. k (m, n) ~ (n, r) olarak istenen elde edilir.

Tanım

(Z x Z* )/~ denklik bölükleri kümesine rasyonel sayılar kümesi denir ve Q ile gösterilir. Q kümesinin herhangi bir elemanına da rasyonel sayı denir.

Örneğin  elemanını içeren bir denklik bölüğünü [(m, n)] ile gösterirsek,

[(0, 1)], [(1, 3)], [(0, -5)] birer rasyonel sayı olacaktır.

4) Gerçel Sayılar

x. x = 2 olacak biçimde hiçbir  rasyonel sayısının olmadığını gösterelim:

Tersine x. x = 2 olacak şekilde bir  rasyonel sayısının bulunduğunu düşünelim. Burada  sayılarının 1 den başka ortak böleninin bulunmadığını varsayabiliriz. Şimdi

bulunur. 2|2. n olduğundan 2|m ve buradan da 2|m bulunur. O halde m = 2. p  olmalıdır. Bu bilgiyi  eşitliğinde kullanırsak  dir. Böylece m = 2. p, n = 2. q eşitlikleri yukarıdaki düşünce ile çelişmektedir. O halde x. x = 2 olacak şekilde hiçbir rasyonel sayısı yoktur.

Yukarıdaki örnekte görüldüğü üzere  denklemi için, daha önce tanımlanan sayı sistemlerini düşündüğümüzde, bir çözüm bulamadık. Denklemin çözümü olan  olarak göstereceğimiz sayıyı sayılar ekseni üzerinde gösterebileceğimize göre rasyonel sayılar kümesi de bazı denklemlerin çözümü için yetersiz kalmaktadır. Bu yüzden Gerçel (Reel) Sayıları tanımlayalım.

Tanım

Bir  rasyonel sayılar kümesi

Tanım

Dedekind kesimlerine gerçel sayılar denir ve gerçel sayılar kümesi R ile gösterilir.

Kategoriler:

Yapılan Yorumlar

Henüz kimse yorum yapmamış.

Bu sayfada yer alan bilgilerle ilgili sorularınızı sorabilir, eleştiri ve önerilerde bulunabilirsiniz. Yeni bilgiler ekleyerek sayfanın gelişmesine katkıda bulunabilirsiniz.

Yorum Yapın

Güvenlik Kodu
AMD'nin Üç Çekirdekli(triple-core) Phenom İşlemcileri Hazır     Teclast M26: Tamamen Dokunmatik Cep Telefonu     Call of Duty 5: Yapım Aşamasında Olduğu Duyuruldu     HP, RAM'lara Çağ Atlatmaya Hazırlanıyor     Tom Clancy's Splinter Cell Conviction     .htaccess Dosya Oluşturma     SMF CSS Düzenlemeleri İle Tema Yapımı     Ubuntu 9.04 sürümü yayınlandı     Enerji tasarruflu monitör     Windows 7'de güvenlik açığı bulundu     Windows Live Yenilendi     Joomla!     SMF için ufak ipuçları     Samsung'dan Daha Çok Alan Daha Az Enerji     Ürün inceleme: Brando Ekran Koruyucu Film     Yeni Blogculara Altın Öğütler     Hafıza Yöntemleri - Hafızamızı En İyi Nasıl Kullanırız?     Sıcak Su Kazanlarının Parçaları ve Emniyet Elemanları     Google Katili WolframAlpha Geliyor !     Kalp Hastalıklarının Tedavisinde Yeni Buluşlar     Siber Dünya Ve Bilgi Güvenliği     Mevsimler ve Oluşumu     Moral Ve Motivasyon     Gürcistan     Suriye     Lübnan     Arnavutluk     XX. Yüzyılda Nükleer Güç     Silverlight 3.0 Seminerleri     Video Kaydı ve Gösterilmesi     Asit Yağmurları Nedir ? Nasıl Oluşur ? Etkileri Nelerdir ?     Trafik Mühendisliği     Türkiye'nin Ekonomik Coğrafyası     Çocuklar İçin Ucuz Bilgisayar     Ütü Nedir? Nasıl Çalışır?     Ne Sitesi Açsam Da Çok Para Kazansam?     Andromeda'nın Tarihçesi     Romatizma Nedir? Hava Şartlarının Romatizmaya Etkisi Var Mıdır?     Et Yiyen(Etobur) Bitkiler     Fosfor Nedir? Fosfor Döngüsü ve Fosforun Vücudumuzdaki İşlevi     "1 Nisan" Çelişkisi Nedir? 1 Nisan'da Şaka Yapmak Neden Yanlıştır?     Https Nedir? Twitter'da Güvenli Https Nasıl Aktif Hale Getirilir?     Lotus Bitkisi ve İnanılmaz Özellikleri     Şeker Hastalığı(Diyabet) Nedir? Belirtileri ve Türleri Nelerdir?     Enerji İçecekleri ve İnsan Vücuduna Etkisi     Biyomalzeme: Vücutta Kullanılan Yapay Malzemeler     Kingston DataTraveler Ultimate G2 - Usb 3.0 Bellek İncelemesi     ‘İnsan' Olmak     Atanamayan Öğretmen Mi? Ataması Yapılmayan Öğretmen Mi?     Dünyada Yeni Bir Akım: Facebook Çılgınlığı     Tim Berners- Lee Kimdir?     Mitoloji Nedir? Nasıl Oluşmuştur?     Felsefeyi Anlamak     Fen Bilimleri Nedir?     Din ve İnsanın İç Dünyası Arasındaki İlişki Nasıldır?     Ahtapotların Yaşamı ve Bilinmeyen Özellikleri     Biz İnsanlar Neden Koyun Gibi Yaşıyoruz?     Müzik ile Tedavi Mümkün Müdür?     Özgeçmiş(CV) Nedir? Kaliteli Bir CV Nasıl Hazırlanır?     Uzun Yaşamın Formülü Nedir?     Yedikule Zindanları Efsanesi     Dinozorlar: Dev Sürüngenlerin Yok Oluşu     Mumyalama Nedir? Nasıl Yapılır ve Mumyalamanın Tarihçesi     Adet Düzensizliği Nedir?     Pellegra Hastalığı Nedir?     Tahin Nasıl Yapılır? Faydaları ve Zararları Nelerdir?     Doğanın Mucizesi: Polen     Çocuğunuzun Sözel-Dilsel Zekaya Sahip Olduğunu Nasıl Anlarsınız?     Reyting Nedir? Nasıl Ölçülür?     Msp Messenger Nedir? Nasıl Kullanılır?     Anason Bitkisi Nedir? Faydaları Nelerdir?     Bir Milyon Dolarlık Köpek: Tibet Mastifi     Otizm Nedir? Tedavisi Mümkün Müdür?     Uykuda Yatış Pozisyonumuz Nasıl Olmalıdır?     İkinci El Otomobil İncelenirken Bakılması Gereken En Önemli Noktalar Nelerdir?     Bilişim Suçu Ne Demektir?     İnternet Mecrasında Farklı Bir Akım: Sözlükler     E-Ticaret Nedir? İnternetten Nasıl Ticaret Yapılır?     El ve Ayak Bakımı Nasıl Yapılmalıdır?     Tapınak Şövalyeleri Kimdir?     Kozmetik Ürünlerin Cilde Zararı Var Mıdır?     Paskalya Adası Heykellerinin Sırrı     Saçlarda Kepeklenmenin Nedenleri ve Tedavi Yöntemleri     Ballıca Mağarası - Tokat     Mayoz Bölünme Nedir? Evreleri Nelerdir?     Düztabanlık Nedir? Belirtileri ve Tedavi Yöntemleri Nelerdir?     Kızamık Nedir? Belirtileri ve Tedavi Yöntemleri Nelerdir?     Bazı Canlıların Görme Duyuları ve İlginç Özellikleri     Kalıtım ve İnsan     Parkinson Hastalığı Nedir? Tedavisi Nasıl Yapılır?     Unutkanlığın Nedeni Nedir? Güçlü Bir Hafıza İçin Yapılması Gerekenler Nelerdir?     Sağlıklı Kilo Almak İçin Neler Yapılabilir?     Kıl Dönmesi Nedir? Sebepleri, Belirtileri ve Tedavi Yöntemleri Nelerdir?     Damar Sertliği Nedir? Belirtileri ve Tedavi Yöntemleri Nelerdir?     Mide Ülseri Nedir? Tedavisi Nasıl Yapılır?     Esperanto Nedir?     Karpuzun Faydaları Nelerdir?     Astroloji Nedir? Tarihteki Gelişimi Nasıldır?     Güneş Enerjisi İle Çalışan Araba     Kamburluk Nedir? Sebepleri ve Tedavi Yöntemleri Nelerdir?    
Coğafya Tarih Sitesi Matematik Sorusu Türkçe Sitesi